Trigonométrie Exemples

$\cos (67.5) \cos (22.5)$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (67.5)$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $67.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Étape 1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3

Développez $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 3.4.1.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.35355339 \dots$