Trigonométrie Exemples

$\cot (22.5)$

Étape 1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cot (\frac{45}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque.

$\frac{1}{\tan (\frac{45}{2})}$

Étape 3

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Étape 4

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la cotangente est positive dans le premier quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

Étape 5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Étape 5.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Étape 5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

Étape 5.3.3

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

Étape 5.3.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Étape 5.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.9

Associez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.10

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.3.10.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.10.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.10.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.10.4

Écrivez $- \sqrt{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.10.5

Multipliez $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.10.6

Multipliez $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.5

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 5.3.12.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.5.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Étape 5.3.12.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.12.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Étape 5.3.12.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Étape 5.3.12.8.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Étape 5.3.13

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.14

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.15

Annulez le facteur commun à $6 - 4 \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 5.3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5.3.15.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 5.3.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Étape 5.3.15.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.15.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Étape 5.3.15.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Étape 5.3.15.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Étape 5.3.15.4.4

Divisez $3 - 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

Forme décimale :

$2.41421356 \dots$