Trigonométrie Exemples

$\csc (\frac{23 π}{8})$

Étape 1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\csc (\frac{7 π}{8})$

Étape 2

La valeur exacte de $\csc (\frac{7 π}{8})$ est $\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{7 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\csc (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Étape 2.4

Change the $\pm$ to $+$ because cosecant is positive in the second quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Étape 2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Étape 2.5.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Étape 2.5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.5.2.2.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Étape 2.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 2.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$

Étape 2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Forme décimale :

$2.61312592 \dots$