Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 2.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 2.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 2.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 2.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Étape 5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Étape 6

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Étape 7.2

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Étape 7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Étape 7.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Étape 7.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Étape 7.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 7.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 7.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Étape 7.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{3} - 2$ et $8$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Étape 8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Étape 8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Étape 8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Forme décimale :

$0.18301270 \dots$