Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (\frac{7 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Étape 2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

Étape 2.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Étape 2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Étape 2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

Étape 2.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 2.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

Étape 2.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

Étape 2.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

Étape 2.4.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Étape 2.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4 \cdot 2}$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Étape 5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Étape 6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Forme décimale :

$- 0.06698729 \dots$