Trigonométrie Exemples

$\tan (37.5)$

Étape 1

Réécrivez $37.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\tan (\frac{75}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{1 + \cos (75)}}$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{1 + \cos (75)}}$ .

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (75)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45))}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (75)}}$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\cos (75)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 4.5.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (30 + 45)}}$

Étape 4.5.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)}}$

Étape 4.5.3

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)}}$

Étape 4.5.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)}}$

Étape 4.5.5

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)}}$

Étape 4.5.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.5.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.5.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.5.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.5.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.5.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.5.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.5.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Étape 4.5.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}$

Étape 4.5.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}$

Étape 4.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}$

Étape 4.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.9.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

Étape 4.9.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ par $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (\frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}})}$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{1}{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ par $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}}$

Étape 4.12

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{6} \cdot 4 + {\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - 4 \sqrt{2} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 4.13

Simplifiez

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}}}$

Étape 4.14

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}}$ par $\frac{20 - 8 \sqrt{6}}{20 - 8 \sqrt{6}}$ .

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) (\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}} \cdot \frac{20 - 8 \sqrt{6}}{20 - 8 \sqrt{6}})}$

Étape 4.15

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{20 + 8 \sqrt{6}}$ par $\frac{20 - 8 \sqrt{6}}{20 - 8 \sqrt{6}}$ .

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})}{(20 + 8 \sqrt{6}) (20 - 8 \sqrt{6})}}$

Étape 4.16

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})}{400 - 160 \sqrt{6} + 160 \sqrt{6} - 64 {\sqrt{6}}^{2}}}$

Étape 4.17

Simplifiez

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})}{16}}$

Étape 4.18

Annulez le facteur commun à $20 - 8 \sqrt{6}$ et $16$ .

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Étape 4.18.1

Factorisez $4$ à partir de $(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (20 - 8 \sqrt{6})$ .

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{16}}$

Étape 4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.18.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4 (4)}}$

Étape 4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{4 ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4 \cdot 4}}$

Étape 4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.19

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{4 \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} - \sqrt{6} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.20

Simplifiez

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Étape 4.20.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.20.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} - \sqrt{6} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.20.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.20.2

Associez $\frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}$ et $\sqrt{6}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) - \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + \sqrt{2} \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.20.3

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})}{4}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) - \frac{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 1 \cdot 4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.3

Développez $(- 4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 4 \cdot 5 - 4 (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 5 - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.22.4.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 - 4 (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 5 - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 5 - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.4

Multipliez $- \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.22.4.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 {\sqrt{6}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 {\sqrt{6}}^{2} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.22.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.22.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.22.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6^{1} - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 6 - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.6

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - \sqrt{2} \cdot 5 - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.8

Multipliez $- \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.22.4.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{6}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6 \cdot 2}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.8.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{12}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.9

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.22.4.9.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{4 (3)}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 2 (2 \sqrt{3})) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.4.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 20 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 12 - 5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.5

Additionnez $- 20$ et $12$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 8 + 8 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.6

Soustrayez $5 \sqrt{6}$ de $8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{(- 8 + 3 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}) \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.7

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8

Simplifiez

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Étape 4.22.8.1

Multipliez $3 \sqrt{6} \sqrt{6}$ .

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Étape 4.22.8.1.1

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.1.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{1 + 1} - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{2} \sqrt{6} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.2

Multipliez $- 5 \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 4.22.8.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{6 \cdot 2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.3

Multipliez $4 \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

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Étape 4.22.8.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.8.3.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {\sqrt{6}}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.22.9.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.22.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.22.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6^{1} - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 6 - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 \sqrt{12} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.3

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.22.9.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 \sqrt{4 (3)} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 5 (2 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{18} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.6

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.22.9.6.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 4 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.9.8

Multipliez $3$ par $4$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} ((4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.10

Développez $(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (4 \cdot 5 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.22.11.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.4

Multipliez $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.22.11.4.1

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.22.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.22.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.22.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.6

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.7

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}))}{4}}$

Étape 4.22.11.8

Multipliez $\sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.22.11.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 \cdot 6})}{4}}$

Étape 4.22.11.8.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{12})}{4}}$

Étape 4.22.11.9

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.22.11.9.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{4 (3)})}{4}}$

Étape 4.22.11.9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3})}{4}}$

Étape 4.22.11.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 (2 \sqrt{3}))}{4}}$

Étape 4.22.11.11

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.12

Soustrayez $12$ de $20$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (8 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.13

Additionnez $- 8 \sqrt{6}$ et $5 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} (8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.14

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 8 + \sqrt{2} (- 3 \sqrt{6}) + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15

Simplifiez

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Étape 4.22.15.1

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 3 \sqrt{6}) + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.2

Multipliez $\sqrt{2} (- 3 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.22.15.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + \sqrt{2} (5 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.3

Multipliez $\sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.22.15.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})}{4}}$

Étape 4.22.15.4

Multipliez $\sqrt{2} (- 4 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.22.15.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{2 \cdot 3}}{4}}$

Étape 4.22.15.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \cdot \sqrt{2} - 3 \sqrt{12} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.22.16.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.22.16.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 3 \sqrt{4 (3)} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 3 (2 \sqrt{3}) + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.22.16.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.22.16.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2^{1} - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 5 \cdot 2 - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.22.16.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{- 8 \sqrt{6} + 18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 10 - 4 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.23

Soustrayez $4 \sqrt{6}$ de $- 8 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{18 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 10 - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.24

Additionnez $18$ et $10$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 10 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.25

Soustrayez $6 \sqrt{3}$ de $- 10 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.26

Additionnez $12 \sqrt{2}$ et $8 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.27.1

Développez $(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) (5 - 2 \sqrt{6})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\sqrt{4 \cdot 5 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.27.2.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{20 + 4 (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 5 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.4

Multipliez $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.27.2.4.1

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.27.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.27.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6^{1} + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 2 \cdot 6 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.6

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + \sqrt{2} \cdot 5 + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.7

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 \sqrt{6}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.8

Multipliez $\sqrt{2} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.27.2.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2 \cdot 6} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.8.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{12} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.9

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.27.2.9.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{4 (3)} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 2 (2 \sqrt{3}) + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.2.11

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\sqrt{20 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} - 12 + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.3

Soustrayez $12$ de $20$ .

$\sqrt{8 - 8 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.4

Additionnez $- 8 \sqrt{6}$ et $5 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.5

Annulez le facteur commun à $28 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}$ et $4$ .

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Étape 4.27.5.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 \cdot 7 - 16 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 \cdot 7 + 4 (- 4 \sqrt{3}) + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3}) + 20 \sqrt{2} - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.5.4

Factorisez $4$ à partir de $20 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3}) + 4 (5 \sqrt{2}) - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (7 - 4 \sqrt{3}) + 4 (5 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}) - 12 \sqrt{6}}{4}}$

Étape 4.27.5.6

Factorisez $4$ à partir de $- 12 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}) + 4 (- 3 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.27.5.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}) + 4 (- 3 \sqrt{6})$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6})}{4}}$

Étape 4.27.5.8

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.27.5.8.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6})}{4 (1)}}$

Étape 4.27.5.8.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6})}{4 \cdot 1}}$

Étape 4.27.5.8.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \frac{7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{1}}$

Étape 4.27.5.8.4

Divisez $7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ par $1$ .

$\sqrt{8 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 7 - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}$

Étape 4.28

Additionnez $8$ et $7$ .

$\sqrt{15 - 3 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}$

Étape 4.29

Soustrayez $3 \sqrt{6}$ de $- 3 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} + 5 \sqrt{2}}$

Étape 4.30

Additionnez $5 \sqrt{2}$ et $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.31

Soustrayez $4 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2} - 8 \sqrt{3}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{15 - 6 \sqrt{6} + 10 \sqrt{2} - 8 \sqrt{3}}$

Forme décimale :

$0.76732698 \dots$