Trigonométrie Exemples

$\tan (- \frac{17 π}{12})$

Étape 1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\tan (\frac{7 π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (\frac{7 π}{12})$ est $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

Étape 2.4.6

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Étape 2.4.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Étape 2.4.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Étape 2.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Étape 2.4.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Étape 2.4.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.11.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Étape 2.4.11.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Étape 2.4.12

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Étape 2.4.13

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Étape 2.4.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 2.4.15

Simplifiez

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Étape 2.4.16

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Étape 2.4.17

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Étape 2.4.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Étape 2.4.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.18

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.18.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.18.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.18.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.18.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Étape 2.4.18.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Étape 2.4.18.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Étape 2.4.18.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Étape 2.4.18.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Étape 2.4.18.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Forme décimale :

$- 3.73205080 \dots$