Trigonométrie Exemples

$\sec (2 \arctan (x))$

Étape 1

Expand sec(2x).

$\frac{1}{\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (\arctan (x))$ et $b = \sin (\arctan (x))$ .

$\frac{1}{(\cos (\arctan (x)) + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\cos (\arctan (x))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.3.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \sin (\arctan (x))) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.4

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (x))$ est $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 2.2.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.6.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.8

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} + x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 2.2.8.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.8.2

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} x}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.8.3

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} x$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\cos (\arctan (x)) - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.9

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.10

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.11.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 2.2.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.11.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \sin (\arctan (x)))}$

Étape 2.2.12

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (x))$ est $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}$

Étape 2.2.13

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))}$

Étape 2.2.14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.14.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}$

Étape 2.2.14.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}$

Étape 2.2.14.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}$

Étape 2.2.14.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}$

Étape 2.2.14.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}$

Étape 2.2.14.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 2.2.14.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Étape 2.2.14.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Étape 2.2.14.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}$

Étape 2.2.14.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.14.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}$

Étape 2.2.14.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}$

Étape 2.2.14.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}$

Étape 2.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 2.2.16

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 2.2.16.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Étape 2.2.16.2

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $- x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} (- x)}{1 + x^{2}}}$

Étape 2.2.16.3

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} (- x)$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x)}{1 + x^{2}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 - x)}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (1 + x) (\sqrt{1 + x^{2}} (1 - x))}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}$

Étape 5.2

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1}}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.1.5

Simplifiez

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.2

Réduisez l’expression $\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{(1 + x^{2}) ((1 + x) (1 - x))}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

Étape 7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{1 + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1 + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$