Trigonométrie Exemples

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

Étape 1

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Étape 2.2

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Étape 2.3

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Étape 2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Étape 2.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

Étape 2.6

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ , $(y, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (y)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (y))$ est $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

Étape 2.7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Étape 2.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 2.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$