Trigonométrie Exemples

$\sin (2 \arctan (x))$

Étape 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x))$

Étape 2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (x))$ est $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \cos (\arctan (x))$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} \cos (\arctan (x))$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

Étape 5

Associez $2$ et $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x \sqrt{1 + x^{2}})}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

Étape 6

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\cos (\arctan (x))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$