Trigonométrie Exemples

$\cos (2 \arccos (x))$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Étape 2.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Étape 2.5.5

Simplifiez

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Étape 2.6

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Étape 2.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Étape 2.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Étape 2.7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Étape 2.7.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Étape 2.7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Étape 2.10

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Étape 2.10.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Étape 3

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$