Trigonométrie Exemples

$\cos (4 x) - \cos (2 x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\cos (2 (2 x)) - \cos (2 x)$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.2

Réécrivez ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ comme $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.3

Développez $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.2.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (2 \cdot 2 {\cos (x)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.2.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - \cos (2 x)$

Étape 1.4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1)$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) - - 1$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) - - 1$

Étape 1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$8 \cos^{4} (x) + 1 - 10 \cos^{2} (x) + 1$

Étape 2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$