Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (\frac{π}{12})$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

${(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Étape 1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Étape 1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Étape 2.3

Réécrivez ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.5

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.9

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Étape 4.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.10

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Étape 4.1.13

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.1.13.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.1.13.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Étape 4.1.13.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Étape 4.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Étape 4.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Étape 4.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Étape 4.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Étape 4.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 4.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Étape 4.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Étape 4.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Étape 4.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Étape 4.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Étape 5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Étape 5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$0.06698729 \dots$