Trigonométrie Exemples

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \csc (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 2.3

Multipliez $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $2$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{2}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Additionnez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6

Additionnez $- {\cos (x)}^{2}$ et $2 {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 7

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

Étape 8

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 8.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + \cot (x)$

Étape 8.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

Étape 8.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 10

Additionnez des fractions.

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Étape 10.1

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 10.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 10.2.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 11

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 12

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$ est une identité