Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{π}{2} - x) \tan (x) = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (\frac{π}{2} - x) \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (\frac{π}{2} - x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)} \tan (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{\cos (\frac{π}{2} - x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - x) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2} - x) \cos (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{(\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2} - x) \cos (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{(\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{(1 \cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{(\cos (x) - 0 \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{(\cos (x) + 0 \sin (x)) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.1.5

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + 0) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.1.6

Additionnez $\cos (x)$ et $0$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.2.2

Multipliez $0$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 + \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 + 1 \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{(0 + \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 5.2.5

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (\frac{π}{2} - x) \tan (x) = 1$ est une identité