Trigonométrie Exemples

$\sin (x) \cos (x - y) - \cos (x) \sin (x - y) = \sin (y)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (x) \cos (x - y) - \cos (x) \sin (x - y)$

Étape 2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (x) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \cos (x) \sin (x - y)$

Étape 3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\sin (x) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.2

Multipliez $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) (\sin (x) \cos (y)) - \cos (x) (- \cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.4

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x) \sin (y))$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + 1 \cos (x) (\cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (\cos (x) \sin (y))$

Étape 4.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y)$

Étape 4.1.4.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y)$

Étape 4.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y)$

Étape 4.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\sin (x) \cos (x) \cos (y) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (x) \cos (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$ .

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Étape 4.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sin (x) \cos (x) \cos (y)$ et $- \cos (x) \sin (x) \cos (y)$ .

$\cos (x) \cos (y) \sin (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) \sin (x) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $\cos (x) \cos (y) \sin (x)$ de $\cos (x) \cos (y) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) \sin (y) + 0 + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Étape 4.2.3

Additionnez $\sin^{2} (x) \sin (y)$ et $0$ .

$\sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Étape 4.3

Factorisez $\sin (y)$ à partir de $\sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $\sin (y)$ à partir de $\sin^{2} (x) \sin (y)$ .

$\sin (y) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin (y)$

Étape 4.3.2

Factorisez $\sin (y)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin (y)$ .

$\sin (y) \sin^{2} (x) + \sin (y) \cos^{2} (x)$

Étape 4.3.3

Factorisez $\sin (y)$ à partir de $\sin (y) \sin^{2} (x) + \sin (y) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (y) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 4.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin (y) \cdot 1$

Étape 4.5

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\sin (y)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x) \cos (x - y) - \cos (x) \sin (x - y) = \sin (y)$ est une identité