Trigonométrie Exemples

$\sin (x + (\frac{π}{2})) + \sin ((\frac{π}{2}) - x) = 2 \cos (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (x + (\frac{π}{2})) + \sin ((\frac{π}{2}) - x)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) + \sin ((\frac{π}{2}) - x)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{2}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $0$ .

$0 + \cos (x) \sin (\frac{π}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1 + \sin (\frac{π}{2}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$0 + \cos (x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + \cos (x) + 1 \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.6

Multipliez $\cos (- x)$ par $1$ .

$0 + \cos (x) + \cos (- x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.7

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (- x)$

Étape 4.1.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 + \cos (x) + \cos (x) + 0 \sin (- x)$

Étape 4.1.9

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$0 + \cos (x) + \cos (x) + 0 (- \sin (x))$

Étape 4.1.10

Multipliez $0 (- \sin (x))$ .

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Étape 4.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + \cos (x) + \cos (x) + 0 \sin (x)$

Étape 4.1.10.2

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) + \cos (x) + 0$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $0 + \cos (x) + \cos (x) + 0$ .

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $\cos (x) + \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) + \cos (x)$

Étape 4.3

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x + \frac{π}{2}) + \sin ((\frac{π}{2}) - x) = 2 \cos (x)$ est une identité