Trigonométrie Exemples

$\sec (2 x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{2 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{2 - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{2 - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}{2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} \frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 3.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} \frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 3.5

Associez ${\cos (x)}^{2}$ et $\frac{2 {\cos (x)}^{2} - 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2} - 1)}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos (2 x)}$ comme $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec (2 x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)}$ est une identité