Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)} = \tan (x) + \tan (y)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\tan (x) + \tan (y)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan (y)$

Étape 5.2

Écrivez $\tan (y)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Étape 6

Additionnez des fractions.

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Étape 6.1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) \cos (y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (y) \cos (x)}$

Étape 6.3.3

Réorganisez les facteurs de $\cos (y) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin (x + y)}{\cos (x) \cos (y)} = \tan (x) + \tan (y)$ est une identité