Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1}$ par $\frac{- \tan (x) + \sec (x) + 1}{- \tan (x) + \sec (x) + 1}$ .

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} \cdot \frac{- \tan (x) + \sec (x) + 1}{- \tan (x) + \sec (x) + 1}$

Étape 3

Associez.

$\frac{(\tan (x) + \sec (x) - 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(\tan (x) + \sec (x) - 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\tan (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- ({\tan (x)}^{1} \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- ({\tan (x)}^{1} {\tan (x)}^{1}) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.3

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1} \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.3.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1} {\sec (x)}^{1} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) \cdot 1 - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.4

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) - 1 (- \tan (x)) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.5

Multipliez $- 1 (- \tan (x))$ .

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + 1 \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $- 1 \sec (x)$ comme $- \sec (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.3

Additionnez $\sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 4.3.1

Remettez dans l’ordre $\sec (x)$ et $- 1$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x) \tan (x) + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $\sec (x) \tan (x)$ de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 0 + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.4

Additionnez $- {\tan (x)}^{2}$ et $0$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.5

Additionnez $\tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 2 \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + \sec (x) - \sec (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.6

Soustrayez $\sec (x)$ de $\sec (x)$ .

$\frac{- {\tan (x)}^{2} + 2 \tan (x) + {\sec (x)}^{2} + 0 - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 4.7

Additionnez $- {\tan (x)}^{2}$ et $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(\tan (x) - \sec (x) + 1) (- \tan (x) + \sec (x) + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{\tan (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 5.2.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- ({\tan (x)}^{1} \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- ({\tan (x)}^{1} {\tan (x)}^{1}) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot 1 - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) - \sec (x) (- \tan (x)) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- \sec (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + 1 \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.4

Multipliez $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 5.2.4.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - ({\sec (x)}^{1} \sec (x)) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - ({\sec (x)}^{1} {\sec (x)}^{1}) - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + 1 (- \tan (x)) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.6

Multipliez $- \tan (x)$ par $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + 1 \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.7

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.8

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) + \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1}$

Étape 5.3

Additionnez $\sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) - \tan (x) + \sec (x) + 1}$

Étape 5.4

Soustrayez $\tan (x)$ de $\tan (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) + 0 - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + \sec (x) + 1}$

Étape 5.5

Additionnez $- {\tan (x)}^{2}$ et $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} - \sec (x) + \sec (x) + 1}$

Étape 5.6

Additionnez $- \sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- {\tan (x)}^{2} + 2 \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2} + 0 + 1}$

Étape 5.7

Additionnez $- {\tan (x)}^{2}$ et $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + \sec^{2} (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $- \tan^{2} (x)$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Étape 6.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) + 1}$

Étape 6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x)) + 1}$

Étape 6.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Étape 6.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 2 \tan (x) - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Étape 6.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Étape 6.8.2

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} - 1}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Étape 6.8.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Étape 6.8.4

Additionnez $0$ et $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x)}$

Étape 6.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.9.1

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ de $- \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan^{2} (x)}$

Étape 6.9.2

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan^{2} (x)$ .

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Étape 6.9.2.1

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $2 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan^{2} (x)}$

Étape 6.9.2.2

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $- 2 \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- \tan (x))}$

Étape 6.9.2.3

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- \tan (x))$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Étape 6.9.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}$

Étape 6.9.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.9.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.9.6

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.10

Annulez le facteur commun de $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 6.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 7.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 8

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 9

Associez.

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 10.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Développez $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

Étape 11.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Étape 12

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 13.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 13.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 14

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\tan (x) + \sec (x)$

Étape 15

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 15.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x)$

Étape 15.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x)}$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 18

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x) + \sec (x) - 1}{\tan (x) - \sec (x) + 1} = \tan (x) + \sec (x)$ est une identité