Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{{\tan (x)}^{3} - 1^{3}}{\tan (x) - 1}$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = \tan (x)$ et $b = 1$ .

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) \cdot 1 + 1^{2})}{\tan (x) - 1}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) + 1^{2})}{\tan (x) - 1}$

Étape 2.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(\tan (x) - 1) ({\tan (x)}^{2} + \tan (x) + 1)}{\tan (x) - 1}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\tan (x) - 1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 3.1

Déplacez $1$ .

$\tan^{2} (x) + 1 + \tan (x)$

Étape 3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) + \tan (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \sec^{2} (x) + \tan (x)$ est une identité