Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 1 + 2 \cot^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\csc^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Étape 3

Additionnez ${\csc (x)}^{2}$ et ${\csc (x)}^{2}$ .

$2 \csc^{2} (x) - 1$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$2 (1 + \cot^{2} (x)) - 1$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$2 (1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) - 1$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$2 (1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) - 1$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.1.3

Associez $2$ et $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$2 + \frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Réécrivez $1 + \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme $1 + 2 \cot^{2} (x)$ .

$1 + 2 \cot^{2} (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 1 + 2 \cot^{2} (x)$ est une identité