Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) \sec (x) = \sec (x) + \csc (x) \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\sec (x) + \csc (x) \cot (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) \cot (x)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Étape 2.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Additionnez des fractions.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{1}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4.2

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) \sin^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 4.3.3

Réorganisez les facteurs de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 5

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (x) \cos (x)}$ comme $\csc^{2} (x) \sec (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (x) \sec (x) = \sec (x) + \csc (x) \cot (x)$ est une identité