Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x) = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\csc^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \cot^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 3.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ et ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Soustrayez ${\cos (x)}^{2}$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{0}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 0$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc^{2} (x) - \cos^{2} (x) \csc^{2} (x) = 1$ est une identité