Trigonométrie Exemples

$\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (π) \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2} + x)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\cos (π) \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0) \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 \cos (- x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.4

Comme $\cos (- x)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- x)$ comme $\cos (x)$ .

$- 1 \cos (x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.5

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) - \sin (π) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \cos (x) - \sin (0) \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \cos (x) - 0 \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \cos (x) + 0 \sin (- x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.9

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$- \cos (x) + 0 (- \sin (x)) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.10

Multipliez $0 (- \sin (x))$ .

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Étape 4.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \cos (x) + 0 \sin (x) + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.10.2

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$- \cos (x) + 0 + \sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.11

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \cos (x) + 0 + 1 \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.12

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \cos (x) + 0 + \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)$

Étape 4.1.13

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \cos (x) + 0 + \cos (x) + 0 \sin (x)$

Étape 4.1.14

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$- \cos (x) + 0 + \cos (x) + 0$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $- \cos (x) + 0 + \cos (x) + 0$ .

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Étape 4.2.1

Additionnez $- \cos (x)$ et $0$ .

$- \cos (x) + \cos (x) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $- \cos (x) + \cos (x)$ et $0$ .

$- \cos (x) + \cos (x)$

Étape 4.2.3

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$0$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (π - x) + \sin (\frac{π}{2} + x) = 0$ est une identité