Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{5 π}{3} + x) + \sin (\frac{7 π}{6} + x) = 0$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (\frac{5 π}{3} + x) + \sin (\frac{7 π}{6} + x)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{5 π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{5 π}{3}) \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6} + x)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\cos (\frac{5 π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{5 π}{3}) \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{5 π}{3}) \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{5 π}{3}) \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{5 π}{3}) \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{\cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.6

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.7

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{7 π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.8

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (x) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.10

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.11

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - \cos (\frac{π}{6}) \sin (x)$

Étape 4.1.12

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

Étape 4.1.13

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $\frac{\cos (x)}{2}$ de $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$0 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4

Associez les termes opposés dans $\sqrt{3} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{3}$ .

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Étape 4.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{3} \sin (x)$ et $- \sin (x) \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) - \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $\sqrt{3} \sin (x)$ de $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 4.5

Divisez $0$ par $2$ .

$0$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (\frac{5 π}{3} + x) + \sin (\frac{7 π}{6} + x) = 0$ est une identité