Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)} = \cot (t) + \tan (t)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{\tan^{2} (t) + 1}{\tan (t)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\tan (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} + 1}{\tan (t)}$

Étape 3.2

Écrivez $\tan (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} + 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} + 1}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} + 1) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{{\sin (t)}^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)} + 1 \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ par $1$ .

$\frac{{\sin (t)}^{2} \cos (t)}{{\cos (t)}^{2} \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 5

Additionnez des fractions.

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 5.2

Pour écrire $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}$

Étape 5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (t) \sin (t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Étape 5.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 8

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\cot (t) + \tan (t)$

Étape 9

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 9.1

Écrivez $\cot (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)$

Étape 9.2

Écrivez $\tan (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 10

Additionnez des fractions.

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Étape 10.1

Pour écrire $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Étape 10.2

Pour écrire $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 10.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (t) \cos (t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ par $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 10.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (t) \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) \sin (t)}$

Étape 12

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t)} = \cot (t) + \tan (t)$ est une identité