Trigonométrie Exemples

\frac{{sec}^{2} (x)}{{sec}^{2} (x) - 1} = {csc}^{2} (x)

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x) - 1} = \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

\frac{{sec}^{2} (x)}{{sec}^{2} (x) - 1}

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

\frac{{sec}^{2} (x)}{{tan}^{2} (x)}

$\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Appliquez l’identité réciproque à

sec (x)

$\sec (x)$ .

\frac{{(\frac{1}{cos (x)})}^{2}}{{tan}^{2} (x)}

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan^{2} (x)}$

Étape 3.2

Écrivez

tan (x)

$\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

\frac{{(\frac{1}{cos (x)})}^{2}}{{(\frac{sin (x)}{cos (x)})}^{2}}

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

\frac{\frac{1^{2}}{{cos}^{2} (x)}}{{(\frac{sin (x)}{cos (x)})}^{2}}

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{\frac{1^{2}}{{cos}^{2} (x)}}{\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}}

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

\frac{\frac{1^{2}}{{cos}^{2} (x)}}{\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}}

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\frac{1^{2}}{{cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{cos (x)}^{2}}{{sin (x)}^{2}}

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez.

\frac{1^{2} {cos (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2} {sin (x)}^{2}}

$\frac{1^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de

{cos (x)}^{2}

${\cos (x)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réécrivez

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme

$\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x) - 1} = \csc^{2} (x)$ est une identité