Trigonométrie Exemples

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$ comme $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ .

$(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Étape 2.2

Développez $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x)) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (2 x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.3.1.2.2

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)$

Étape 2.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.3.3

Additionnez $\cos (2 x) \sin (2 x)$ et $\cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Étape 2.4

Déplacez $\sin^{2} (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.5

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (2 x)$ et $\sin (2 x)$ .

$1 + \sin (2 x) (2 \cos (2 x))$

Étape 2.7.2

Remettez dans l’ordre $\sin (2 x)$ et $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)$

Étape 2.7.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 (2 x))$

Étape 2.7.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 + \sin (4 x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$ est une identité