Trigonométrie Exemples

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (u)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (u)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\sec (u) + \tan (u))$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\sec (u)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \tan (u))$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\tan (u)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Étape 2.3

Développez $(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.4

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Étape 2.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ et $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.4.2

Soustrayez $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ de $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + 0 - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.4.3

Additionnez $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (u)}$ par $\frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.5.1.2

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.5.1.3

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (u)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.5.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 2.5.2

Multipliez $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ par $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 2.5.2.2

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 2.5.2.3

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 2.5.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 2.5.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 2.5.2.6

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos (u)}$

Étape 2.5.2.7

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)}$

Étape 2.5.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{{\cos (u)}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (u)$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$ est une identité