Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \csc (x)}{1 - \sin (x)} = - \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 - \csc (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \frac{1}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\sin (x) (1 - \frac{1}{\sin (x)})}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{- 1}{\sin (x)}}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \frac{- 1}{\sin (x)}}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 - 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 3.5

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x) (1) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 3.5.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (1) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $\sin (x) - 1$ et $1 - \sin (x)$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (x)$ .

$\frac{- 1 (- \sin (x)) - 1}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sin (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

Étape 7

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 9

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$- \csc (x)$

Étape 10

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 11

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 - \csc (x)}{1 - \sin (x)} = - \csc (x)$ est une identité