Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.4

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Associez.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Étape 10

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 12

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Étape 13

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 13.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Étape 13.2

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 14.3

Multipliez $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 14.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Étape 14.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Étape 14.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Étape 14.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 14.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 15

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ est une identité