Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \sec^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = 1 + \cos^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 + \sec^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 2.1

Réorganisez les termes.

$\frac{1 + \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + \sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(1 + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1^{2}}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Étape 4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Étape 4.4

Divisez ${\cos (x)}^{2}$ par $1$ .

$(1 + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) {\cos (x)}^{2}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 {\cos (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2}$

Étape 4.6

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de ${\cos (x)}^{2}$ .

$\cos^{2} (x) + 1$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$1 + \cos^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 + \sec^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = 1 + \cos^{2} (x)$ est une identité