Trigonométrie Exemples

$\tan (15)$

Étape 1

Le complément de $\tan (15)$ est l’angle qui, ajouté à $\tan (15)$ , forme un angle droit ( $90 °$ ).

$90 ° - \tan (15)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\tan (15)$ est $2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

Étape 2.1.2

Séparez la négation.

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

Étape 2.1.7

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Étape 2.1.8

Simplifiez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 2.1.8.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

Étape 2.1.8.1.2

Associez.

Étape 2.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

Étape 2.1.8.3.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.8.3.3

Réécrivez l’expression.

Étape 2.1.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

Étape 2.1.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

Étape 2.1.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

Étape 2.1.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

Étape 2.1.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

Étape 2.1.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

Étape 2.1.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

Étape 2.1.8.9

Simplifiez

$90 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$90 - \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6 °}$

Étape 2.1.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$90 - \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6 °}$

Étape 2.1.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$90 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$90 - \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$90 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$90 - \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 2.1.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$90 - \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$90 - \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

Étape 2.1.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$90 - \frac{2 - \sqrt{3}}{1 °}$

Étape 2.1.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Étape 2.4

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

Étape 2.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

Étape 3

Soustrayez $2$ de $90$ .