Trigonométrie Exemples

sin (\frac{17 π}{12})

$\sin (\frac{17 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas,

\frac{17 π}{12}

$\frac{17 π}{12}$ peut être divisé en

\frac{7 π}{6} + \frac{π}{4}

$\frac{7 π}{6} + \frac{π}{4}$ .

sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{4})

$\sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

sin (\frac{7 π}{6}) cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{7 π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

sin (\frac{7 π}{6}) cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{7 π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

- sin (\frac{π}{6}) cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.2

La valeur exacte de

sin (\frac{π}{6})

$\sin (\frac{π}{6})$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{1}{2} cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4

Multipliez

- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

- \frac{\sqrt{2}}{4} + cos (\frac{7 π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{7 π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

- \frac{\sqrt{2}}{4} - cos (\frac{π}{6}) sin (\frac{π}{4})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.6

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} sin (\frac{π}{4})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.7

La valeur exacte de

sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.8

Multipliez

- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.3

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.4

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ .

\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}

$\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.3

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- \sqrt{6}

$- \sqrt{6}$ .

\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}

$\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}$

Étape 5.4

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})

$- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})$ .

\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Réécrivez

- (\sqrt{2} + \sqrt{6})

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ comme

- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})

$- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Forme décimale :

- 0.96592582 \dots

$- 0.96592582 \dots$