Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{11 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $\frac{11 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{2 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{2 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Étape 4.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ par $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ par $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Étape 6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 7.2

Élevez $1 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 7.3

Élevez $1 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Étape 8

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 9

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 10.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Étape 10.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Étape 10.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Étape 10.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 10.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Étape 10.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Étape 10.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Étape 10.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Étape 10.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Étape 10.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Étape 10.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $4 - 2 \sqrt{3}$ et $- 2$ .

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 11.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Étape 12

Réécrivez $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ comme $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Étape 14

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Étape 15

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Étape 15.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 0.26794919 \dots$