Trigonométrie Exemples

$\sec (- \frac{7 π}{12})$

Étape 1

Remplacez

$\sec (- \frac{7 π}{12})$ par une expression équivalente

$\frac{1}{\cos (- \frac{7 π}{12})}$ en utilisant les identités fondamentales.

$\frac{1}{\cos (- \frac{7 π}{12})}$

Étape 2

Utilisez une formule de somme ou de différence sur le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas,

$- \frac{7 π}{12}$ peut être divisé en

$\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Étape 2.2

Utilisez la formule de la différence pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

$\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{4})$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.3

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{6})$ est

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.4

Multipliez

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.4.3

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.4.4

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.5

La valeur exacte de

$\sin (\frac{π}{4})$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{6})}$

Étape 2.4.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6})}$

Étape 2.4.7

La valeur exacte de

$\sin (\frac{π}{6})$ est

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 2.4.8

Multipliez

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.8.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.8.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Étape 3.3

Multipliez

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ par

$1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Étape 3.4

Multipliez

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ par

$\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Étape 3.5

Multipliez

$\frac{4}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}$ par

$\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{(- \sqrt{6} + \sqrt{2}) (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

Étape 3.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.8.2

Divisez

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par

$1$ .

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$- 3.86370330 \dots$