Trigonométrie Exemples

\sin (\frac{- 13 π}{12})

$\sin (\frac{- 13 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas,

\frac{- 13 π}{12}

$\frac{- 13 π}{12}$ peut être divisé en

\frac{π}{4} - \frac{4 π}{3}

$\frac{π}{4} - \frac{4 π}{3}$ .

\sin (\frac{π}{4} - \frac{4 π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{4 π}{3})$

Étape 2

Utilisez la formule de la différence pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)

$\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)$ .

\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

La valeur exacte de

\sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.3

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.4

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.4.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.5

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{4 π}{3})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sin (\frac{π}{3}))

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.7

La valeur exacte de

\sin (\frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{3})$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.8

Multipliez

- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

1

$1$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.3

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.5

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.6

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ .

\frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{6}}{4}

$\frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.3

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ .

\frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{6})}{4}

$\frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.4

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{6})

$- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{6})$ .

\frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}

$\frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Réécrivez

- (\sqrt{2} - \sqrt{6})

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ comme

- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{6})

$- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

\frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}

$\frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

$- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Forme décimale :

0.25881904 \dots

$0.25881904 \dots$