Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Étape 1.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Étape 1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Étape 1.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Étape 1.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Étape 2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Étape 3

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ comme ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Étape 3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Étape 3.5

Simplifiez

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Étape 4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 9

Réécrivez $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$