Trigonométrie Exemples

$\arcsin (x) > \frac{π}{3}$

Étape 1

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$x > \sin (\frac{π}{3})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\arcsin (x)$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq - 1$

Étape 3.2

Définissez l’argument dans $\arcsin (x)$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \leq 1$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 1]$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\arcsin (- 4) > \frac{π}{3}$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $N a N$ n’est pas supérieur au côté droit $1.04719755$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\arcsin (0) > \frac{π}{3}$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $1.04719755$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.93$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $0.93$ dans l’inégalité d’origine.

$\arcsin (0.93) > \frac{π}{3}$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $1.19441284$ est supérieur au côté droit $1.04719755$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\arcsin (4) > \frac{π}{3}$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $N a N$ n’est pas supérieur au côté droit $1.04719755$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ Faux

$\frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ Faux

$\frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{\sqrt{3}}{2} < x < 1$

Étape 7

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Étape 8