Trigonométrie Exemples

\sin (x) > 0

$\sin (x) > 0$ ,

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1

Simplifiez la première inégalité.

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Étape 1.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du sinus.

x > \arcsin (0)

$x > \arcsin (0)$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

La valeur exacte de

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ est

0

$0$ .

x > 0

$x > 0$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

x > 0

$x > 0$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - 0

$x = π - 0$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.4

Soustrayez

0

$0$ de

π

$π$ .

x = π

$x = π$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.5

Déterminez la période de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

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Étape 1.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.5.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 1.6

La période de la fonction

\sin (x)

$\sin (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.7

Consolidez les réponses.

x = π n

$x = π n$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

0 < x < π

$0 < x < π$

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle

0 < x < π

$0 < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

0 < x < π

$0 < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 2

$x = 2$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9.1.2

Remplacez

x

$x$ par

2

$2$ dans l’inégalité d’origine.

\sin (2) > 0

$\sin (2) > 0$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9.1.3

Le côté gauche

0.90929742

$0.90929742$ est supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Vrai et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 5

$x = 5$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9.2.2

Remplacez

x

$x$ par

5

$5$ dans l’inégalité d’origine.

\sin (5) > 0

$\sin (5) > 0$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9.2.3

Le côté gauche

- 0.95892427

$- 0.95892427$ n’est pas supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Faux et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

0 < x < π

$0 < x < π$ Vrai

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ False and

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

0 < x < π

$0 < x < π$ Vrai

π < x < 2 π

$π < x < 2 π$ False and

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

0 + 2 π n < x < π + 2 π n

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

0 + 2 π n < x < π + 2 π n

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ et

\csc (x) > 0

$\csc (x) > 0$

Étape 2

La plage de la cosécante est

y \leq - 1

$y \leq - 1$ et

y \geq 1

$y \geq 1$ . Comme

0

$0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution