Trigonométrie Exemples

Transformer en forme trigonométrique (4 racine carrée de 3-4i)*(8i)
(43-4i)(8i)(434i)(8i)
Étape 1
Appliquez la propriété distributive.
43(8i)-4i(8i)
Étape 2
Multipliez 8 par 4.
323i-4i(8i)
Étape 3
Multipliez -4i(8i).
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Étape 3.1
Multipliez 8 par -4.
323i-32ii
Étape 3.2
Élevez i à la puissance 1.
323i-32(i1i)
Étape 3.3
Élevez i à la puissance 1.
323i-32(i1i1)
Étape 3.4
Utilisez la règle de puissance aman=am+n pour associer des exposants.
323i-32i1+1
Étape 3.5
Additionnez 1 et 1.
323i-32i2
323i-32i2
Étape 4
Simplifiez chaque terme.
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Étape 4.1
Réécrivez i2 comme -1.
323i-32-1
Étape 4.2
Multipliez -32 par -1.
323i+32
323i+32
Étape 5
Remettez dans l’ordre 323i et 32.
32+323i
Étape 6
C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où |z| est le module et θ est l’angle créé sur le plan complexe.
z=a+bi=|z|(cos(θ)+isin(θ))
Étape 7
Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.
|z|=a2+b2z=a+bi
Étape 8
Remplacez les valeurs réelles de a=32 et b=323.
|z|=(323)2+322
Étape 9
Déterminez |z|.
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Étape 9.1
Simplifiez l’expression.
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Étape 9.1.1
Appliquez la règle de produit à 323.
|z|=32232+322
Étape 9.1.2
Élevez 32 à la puissance 2.
|z|=102432+322
|z|=102432+322
Étape 9.2
Réécrivez 32 comme 3.
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Étape 9.2.1
Utilisez nax=axn pour réécrire 3 comme 312.
|z|=1024(312)2+322
Étape 9.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
|z|=10243122+322
Étape 9.2.3
Associez 12 et 2.
|z|=1024322+322
Étape 9.2.4
Annulez le facteur commun de 2.
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Étape 9.2.4.1
Annulez le facteur commun.
|z|=1024322+322
Étape 9.2.4.2
Réécrivez l’expression.
|z|=10243+322
|z|=10243+322
Étape 9.2.5
Évaluez l’exposant.
|z|=10243+322
|z|=10243+322
Étape 9.3
Simplifiez l’expression.
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Étape 9.3.1
Multipliez 1024 par 3.
|z|=3072+322
Étape 9.3.2
Élevez 32 à la puissance 2.
|z|=3072+1024
Étape 9.3.3
Additionnez 3072 et 1024.
|z|=4096
Étape 9.3.4
Réécrivez 4096 comme 642.
|z|=642
Étape 9.3.5
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
|z|=64
|z|=64
|z|=64
Étape 10
L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.
θ=arctan(32332)
Étape 11
Comme la tangente inverse de 32332 produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est π3.
θ=π3
Étape 12
Remplacez les valeurs de θ=π3 et |z|=64.
64(cos(π3)+isin(π3))
 [x2  12  π  xdx ]