Trigonométrie Exemples

(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Étape 2

Multipliez

8

$8$ par

4

$4$ .

32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Étape 3

Multipliez

- 4 i (8 i)

$- 4 i (8 i)$ .

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Étape 3.1

Multipliez

8

$8$ par

- 4

$- 4$ .

32 \sqrt{3} i - 32 i i

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Étape 3.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Étape 3.3

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Étape 3.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez

- 32

$- 32$ par

- 1

$- 1$ .

32 \sqrt{3} i + 32

$32 \sqrt{3} i + 32$

32 \sqrt{3} i + 32

$32 \sqrt{3} i + 32$

Étape 5

Remettez dans l’ordre

32 \sqrt{3} i

$32 \sqrt{3} i$ et

32

$32$ .

32 + 32 \sqrt{3} i

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de

a = 32

$a = 32$ et

b = 32 \sqrt{3}

$b = 32 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à

32 \sqrt{3}

$32 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9.1.2

Élevez

32

$32$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9.2

Réécrivez

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

3

$3$ .

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Étape 9.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{3}$ comme

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Étape 9.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 9.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Étape 9.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Étape 9.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez

$1024$ par

$3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Étape 9.3.2

Élevez

$32$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Étape 9.3.3

Additionnez

$3072$ et

$1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Étape 9.3.4

Réécrivez

$4096$ comme

$64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Étape 9.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 64$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de

$\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est

$\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 12

Remplacez les valeurs de

$θ = \frac{π}{3}$ et

$| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$