Trigonométrie Exemples

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Étape 2

Multipliez $8$ par $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Étape 3

Multipliez $- 4 i (8 i)$ .

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Étape 3.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Étape 3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Étape 3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez $- 32$ par $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $32 \sqrt{3} i$ et $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de $a = 32$ et $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9

Déterminez $| z |$ .

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9.1.2

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Étape 9.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Étape 9.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Étape 9.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $1024$ par $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Étape 9.3.2

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Étape 9.3.3

Additionnez $3072$ et $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Étape 9.3.4

Réécrivez $4096$ comme $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Étape 9.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 64$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 12

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{3}$ et $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$