Trigonométrie Exemples

$(3 - 2 i) \cdot (7 + 6 i)$

Étape 1

Développez $(3 - 2 i) (7 + 6 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (7 + 6 i) - 2 i (7 + 6 i)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 7 + 3 (6 i) - 2 i (7 + 6 i)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 7 + 3 (6 i) - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$21 + 3 (6 i) - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Étape 2.1.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$21 + 18 i - 2 i \cdot 7 - 2 i (6 i)$

Étape 2.1.3

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$21 + 18 i - 14 i - 2 i (6 i)$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2 i (6 i)$ .

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 i i$

Étape 2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 (i^{1} i)$

Étape 2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 (i^{1} i^{1})$

Étape 2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$21 + 18 i - 14 i - 12 i^{1 + 1}$

Étape 2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 i^{2}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$21 + 18 i - 14 i - 12 \cdot - 1$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$21 + 18 i - 14 i + 12$

Étape 2.2

Additionnez $21$ et $12$ .

$33 + 18 i - 14 i$

Étape 2.3

Soustrayez $14 i$ de $18 i$ .

$33 + 4 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 33$ et $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + 33^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 33^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $33$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 1089}$

Étape 6.3

Additionnez $16$ et $1089$ .

$| z | = \sqrt{1105}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{4}{33})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{4}{33}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0.12062366$ .

$θ = 0.12062366$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 0.12062366$ et $| z | = \sqrt{1105}$ .

$\sqrt{1105} (\cos (0.12062366) + i \sin (0.12062366))$