Trigonométrie Exemples

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.6

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.10

Multipliez $15 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $15$ par $- 4$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.12

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.14

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.19

Multipliez $8$ par $- 20$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.20

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.21

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.22

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.23

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.24.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.24.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.24.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.25

Multipliez $15 (16 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.25.1

Multipliez $16$ par $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.25.2

Multipliez $15$ par $16$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.26

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.27

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.28

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.29

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.31

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.32

Multipliez $- 32$ par $- 6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

Étape 2.1.33

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

Étape 2.1.34

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

Étape 2.1.35

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

Étape 2.1.36

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.36.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Étape 2.1.36.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Étape 2.1.36.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

Étape 2.1.37

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

Étape 2.1.38

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

Étape 2.1.39

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $60$ de $1$ .

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 59$ et $240$ .

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $64$ de $181$ .

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $160 i$ de $12 i$ .

$117 - 148 i + 192 i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 148 i$ et $192 i$ .

$117 + 44 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 117$ et $b = 44$ .

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $44$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $117$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

Étape 6.3

Additionnez $1936$ et $13689$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Étape 6.4

Réécrivez $15625$ comme $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 125$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{44}{117}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0.35970699$ .

$θ = 0.35970699$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 0.35970699$ et $| z | = 125$ .

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$