Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{28} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 8$

$b = 2 \sqrt{7}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 - {(2 \sqrt{7})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{64 - (2^{2} {\sqrt{7}}^{2})}$

Étape 5.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 - (4 {\sqrt{7}}^{2})}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{64 - (4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{\frac{2}{2}})}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{\frac{2}{2}})}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{1})}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{64 - (4 \cdot 7)}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- (4 \cdot 7)$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$\sqrt{64 - 1 \cdot 28}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $28$ .

$\sqrt{64 - 28}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $28$ de $64$ .

$\sqrt{36}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$6$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 8)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 8)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (8))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 8)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 6)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(0, 6)$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (6))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(0, - 6)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, 6)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{8}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - {(2 \sqrt{7})}^{2}}}{8}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{\sqrt{64 - (2^{2} {\sqrt{7}}^{2})}}{8}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - (4 {\sqrt{7}}^{2})}}{8}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{64 - (4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{8}$

Étape 8.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{8}$

Étape 8.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{\frac{2}{2}})}}{8}$

Étape 8.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{\frac{2}{2}})}}{8}$

Étape 8.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{64 - (4 \cdot 7^{1})}}{8}$

Étape 8.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{64 - (4 \cdot 7)}}{8}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $- (4 \cdot 7)$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 28}}{8}$

Étape 8.3.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $28$ .

$\frac{\sqrt{64 - 28}}{8}$

Étape 8.3.1.6

Soustrayez $28$ de $64$ .

$\frac{\sqrt{36}}{8}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{8}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6}{8}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $8$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{8}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6)$

Excentricité : $\frac{3}{4}$

Étape 10