Trigonométrie Exemples

$y = \sin (\frac{2}{3} x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 1$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $1$

Étape 3

Déterminez la période de $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{2}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Étape 3.3

$\frac{2}{3}$ est d’environ $0.\overline{6}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$π \cdot 3$

Étape 3.6

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 (\frac{3}{2})$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $\frac{3}{2}$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $1$

Période : $3 π$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sin (\frac{2 (0)}{3})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $2 (0)$ .

$f (0) = \sin (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (0) = \sin (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

Étape 6.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \sin (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Étape 6.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \sin (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

Étape 6.1.2.1.2.4

Divisez $2 \cdot (0)$ par $1$ .

$f (0) = \sin (2 \cdot (0))$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 6.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Associez $2$ et $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

Étape 6.2.2.3

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Étape 6.2.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

Étape 6.2.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Étape 6.2.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Étape 6.2.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1$

Étape 6.2.2.7

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

Étape 6.3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Étape 6.3.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

Étape 6.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

Étape 6.3.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Étape 6.3.2.3.2

Divisez $3 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{3})$

Étape 6.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{3})$

Étape 6.3.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (π)$

Étape 6.3.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (0)$

Étape 6.3.2.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Étape 6.3.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Étape 6.4.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

Étape 6.4.2.3

Réduisez l’expression $\frac{18 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Étape 6.4.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

Étape 6.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Étape 6.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Étape 6.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 6.4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{9 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Étape 6.4.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 1$

Étape 6.4.2.9

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = \sin (\frac{2 (3 π)}{3})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 π) = \sin (\frac{2 (3 π)}{3})$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $2 (π)$ par $1$ .

$f (3 π) = \sin (2 (π))$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (3 π) = \sin (0)$

Étape 6.5.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (3 π) = 0$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{4} & - 1 \\ 3 π & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $1$

Période : $3 π$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{4} & - 1 \\ 3 π & 0 \end{array}$

Étape 8