Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{1}{3}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $\frac{\sin (x + \frac{π}{6})}{3}$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.1.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2

Déterminez la période de $- \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$2 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{6}}{1}$

Étape 4.3

Divisez $- \frac{π}{6}$ par $1$ .

Déphasage : $- \frac{π}{6}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Période : $2 π$

Déphasage : $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ à gauche)

Décalage vertical : $- \frac{1}{2}$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin ((- \frac{π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Additionnez $- \frac{π}{6}$ et $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2.2.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2.3

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $π \cdot 2$ et $π$ .

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Étape 6.2.2.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{2 \cdot π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.4.2

Additionnez $2 \cdot π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.5.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.2.2.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.5.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.6

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.7

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.2.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2.2.8.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.8.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 6.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 - 3}{6}$

Étape 6.2.2.10

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{- 1}{6}$

Étape 6.2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{6}$

Étape 6.2.2.12

La réponse finale est $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.3.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (π)}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.2.3

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{4 π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Pour écrire $\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.4.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{8 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.1.2

Additionnez $8 π$ et $π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 6.4.2.4.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.4.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.5

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.6

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.4.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.4.2.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.4.2.7.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.2.7.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 6.4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 3}{6}$

Étape 6.4.2.9

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 5}{6}$

Étape 6.4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{5}{6}$

Étape 6.4.2.11

La réponse finale est $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6}$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{11 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.1.2

Additionnez $11 π$ et $π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{12 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 (1)})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (2 π)}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.3

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.3

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{π}{3} & - \frac{1}{6} \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{5}{6} \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{3}$

Période : $2 π$

Déphasage : $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ à gauche)

Décalage vertical : $- \frac{1}{2}$

Étape 8