Trigonométrie Exemples

$y = \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.2

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Étape 1.4

Comme $n < m$ , l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

$y = 0$

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\ln ({(1)}^{2})}{1}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Divisez $\ln ({(1)}^{2})$ par $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2})$

Étape 2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (1)$

Étape 2.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{\ln ({(2)}^{2})}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln ({(2)}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f (2) = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $\ln (2)$ par $1$ .

$f (2) = \ln (2)$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (2)$ en décimale.

$y = 0.69314718$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{\ln ({(3)}^{2})}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{\ln ({(3)}^{2})}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln ({(3)}^{2})$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln ({(3)}^{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln ({(3)}^{2})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f (3) = \ln ({({(3)}^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{2 (\frac{1}{3})})$

Étape 4.2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\ln (3^{\frac{2}{3}})$ .

$\ln (3^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (3^{\frac{2}{3}})$ en décimale.

$y = 0.73240819$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (2, 0.69314718), (3, 0.73240819)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.693 \\ 3 & 0.732 \end{array}$

Étape 6