Trigonométrie Exemples

$y = 1 + 3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$

Étape 1

Réécrivez l’expression comme $3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$ .

$3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$

Étape 2

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 3$

$b = 2$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 1$

Étape 3

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 4

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 4.1

Déterminez la période de $3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 4.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.1.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2

Déterminez la période de $1$ .

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Étape 4.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$π$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

Déphasage : $\frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Déphasage : $\frac{π}{4}$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à droite)

Décalage vertical : $1$

Étape 7

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 7.1

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.1.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π - π}{2})$

Étape 7.1.2.1.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{0}{2})$

Étape 7.1.2.1.4

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

Étape 7.1.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

Étape 7.1.2.1.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 0$

Étape 7.1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Étape 7.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (π - \frac{π}{2})$

Étape 7.2.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.2.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Étape 7.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Étape 7.2.2.1.5.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 7.2.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \cdot 1$

Étape 7.2.2.1.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 4$

Étape 7.2.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 7.3

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 7.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.3.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π - π}{2})$

Étape 7.3.2.1.3

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2})$

Étape 7.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2})$

Étape 7.3.2.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (π)$

Étape 7.3.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

Étape 7.3.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

Étape 7.3.2.1.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 0$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1$

Étape 7.3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.4

Déterminez le point sur $x = π$ .

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Étape 7.4.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = 1 + 3 \sin (2 (π) - \frac{π}{2})$

Étape 7.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.4.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Étape 7.4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

Étape 7.4.2.1.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.4.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (π) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 7.4.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (π) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 7.4.2.1.7

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 7.4.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 7.4.2.1.7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (π) = 1 - 3$

Étape 7.4.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (π) = - 2$

Étape 7.4.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7.5

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 7.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{5 π - π}{2})$

Étape 7.5.2.1.3

Soustrayez $π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{4 π}{2})$

Étape 7.5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Étape 7.5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Étape 7.5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Étape 7.5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

Étape 7.5.2.1.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 π)$

Étape 7.5.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

Étape 7.5.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

Étape 7.5.2.1.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 0$

Étape 7.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1$

Étape 7.5.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 4 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & 1 \end{array}$

Étape 8

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à droite)

Décalage vertical : $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 4 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & 1 \end{array}$

Étape 9