Trigonométrie Exemples

tan (θ) = 6

$\tan (θ) = 6$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (θ) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(6)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez

$6$ à la puissance

$2$ .

Hypoténuse

$= \sqrt{36 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Hypoténuse

$= \sqrt{36 + 1}$

Étape 4.3

Additionnez

$36$ et

$1$ .

Hypoténuse

$= \sqrt{37}$

Hypoténuse

$= \sqrt{37}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de

$\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de

$\sin (θ)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez

$\frac{6}{\sqrt{37}}$ par

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\sin (θ) = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Étape 5.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez

$\frac{6}{\sqrt{37}}$ par

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 5.3.2.2

Élevez

$\sqrt{37}$ à la puissance

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 5.3.2.3

Élevez

$\sqrt{37}$ à la puissance

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 5.3.2.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.2.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Étape 5.3.2.6

Réécrivez

${\sqrt{37}}^{2}$ comme

$37$ .

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Étape 5.3.2.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{37}$ comme

$37^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Étape 5.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de

$\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{37}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de

$\cos (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{37}}$ par

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{37}}$ par

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez

$\sqrt{37}$ à la puissance

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez

$\sqrt{37}$ à la puissance

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez

${\sqrt{37}}^{2}$ comme

$37$ .

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Étape 6.3.2.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{37}$ comme

$37^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{37}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{37}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de

$\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{1}{6}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de

$\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{37}}{1}$

Étape 8.3

Divisez

$\sqrt{37}$ par

$1$ .

$\sec (θ) = \sqrt{37}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de

$\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{37}}{6}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{37}}{37}$

$\tan (θ) = 6$

$\cot (θ) = \frac{1}{6}$

$\sec (θ) = \sqrt{37}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{37}}{6}$